FIG. 01
01 / CÁLCULO I
Explorador ε–δ de límites
De una franja horizontal a una vecindad del punto. Explora funciones por partes, límites laterales y testigos numéricos de fallo.
Abrir programa ↗SOFTWARE MATEMÁTICO · EN EL NAVEGADOR
Matemáticas para explorar
Tres laboratorios para acercarse a las definiciones, construir intuición y formular nuevas preguntas.
FIG. 02
02 / CÁLCULO IV
Visualizador de conjuntos Jordan-medibles
De la frontera al área. Construye regiones, explora conjuntos densos y de Cantor, y descubre por qué Dirichlet y Thomae se comportan de manera distinta.
Abrir visualizador ↗FIG. 03
03 / CÁLCULO IV
Laboratorio de sumas de Darboux
Una integral, vista a través de sus particiones. Compara sumas inferiores y superiores y sigue su comportamiento bajo refinamiento, en dos y tres dimensiones.
Abrir programa ↗LA DEFINICIÓN
El límite, con precisión
La cercanía a \(x_0\) debe controlar la cercanía a \(L\), para toda tolerancia positiva.
Sean \(A\subseteq\mathbb R\), \(f\colon A\to\mathbb R\) y \(x_0\in\mathbb R\) un punto de acumulación de \(A\). Para \(L\in\mathbb R\), escribimos
\[ \lim_{\substack{x\to x_0\\x\in A}} f(x)=L \]
si para todo \(\varepsilon>0\) existe \(\delta>0\) tal que, para todo \(x\in A\),
\[ 0<\lvert x-x_0\rvert<\delta\quad\Longrightarrow\quad\lvert f(x)-L\rvert<\varepsilon. \]
No se requiere que \(x_0\in A\): el valor de \(f\) en el centro no interviene en la definición.
Saber más: cómo funciona la búsqueda
De la definición al cálculo
Sea \(D\) el dominio de \(f\), restringido al lado elegido para un límite lateral. El punto \(x_0\) debe ser de acumulación de ese dominio. Llamemos \(B_\varepsilon\) al conjunto de puntos \(x\in D\setminus\{x_0\}\) para los que \(\lvert f(x)-L\rvert\geq\varepsilon\).
\[\delta_*(\varepsilon)=\inf_{x\in B_\varepsilon}\lvert x-x_0\rvert.\]
Usamos la convención \(\inf\varnothing=+\infty\). Si \(0<\delta_*(\varepsilon)<+\infty\), todo \(0<\delta\leq\delta_*(\varepsilon)\) cumple la condición para esa \(\varepsilon\). Si \(\delta_*=0\), ninguna \(\delta>0\) sirve; si \(\delta_*=+\infty\), sirve cualquier \(\delta>0\).
El programa busca la primera obstrucción en una ventana finita, aplica un margen numérico y comprueba una \(\delta\) menor mediante muestreo adaptativo. También examina la desviación al acercarse al centro. Distingue estimaciones, testigos de fallo y diagnósticos inconclusos; el muestreo no sustituye una demostración.
UN EJEMPLO CON DEMOSTRACIÓN
La función \(f(x)=x^2\) en \(x_0=2\)
Para cualquier \(\varepsilon>0\), podemos elegir
\[\delta=\min\{1,\varepsilon/5\}.\]
Si \(0<\lvert x-2\rvert<\delta\), entonces \(1<x<3\), de modo que \(\lvert x+2\rvert<5\). Al factorizar \(x^2-4=(x-2)(x+2)\), obtenemos
\[\lvert x^2-4\rvert<5\delta\leq\varepsilon.\]
Esto demuestra el límite para toda \(\varepsilon>0\); no hace falta escoger la mayor \(\delta\) posible.
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