Libros y notas
Proyecto de libro
Análisis global
Una introducción al análisis no lineal y sus métodos variacionales en variedades riemannianas.
Carlos Daniel Velázquez Mendoza, María de los Ángeles Sandoval Romero y Romulo Diaz Carlos.
Este manuscrito se encuentra en desarrollo activo. Su objetivo es ofrecer una introducción moderna, rigurosa y geométricamente motivada al análisis global y al análisis no lineal sobre variedades riemannianas y haces vectoriales.
El texto parte de los fundamentos de geometría diferencial y análisis funcional, y avanza hacia espacios de Sobolev, distribuciones, operadores diferenciales, teoría del índice, EDP geométricas y métodos variacionales. La intención es construir una exposición autocontenida y progresiva para estudiantes avanzados, estudiantes de posgrado e investigadores interesados en la interacción entre análisis, geometría y EDP.
Aviso de copyright. Este manuscrito es un trabajo en progreso. Todos los derechos pertenecen a los autores. Una versión del libro está prevista para publicarse próximamente en la UNAM.
Motivación
El análisis no lineal sobre variedades riemannianas se ubica en una de las intersecciones más ricas de las matemáticas contemporáneas: geometría diferencial, análisis funcional y ecuaciones diferenciales parciales. El manuscrito busca mostrar cómo las herramientas clásicas del análisis se transforman al trasladarse a espacios curvos, donde la métrica, la curvatura, la topología y la estructura global influyen directamente en las propiedades analíticas.
Un eje conceptual del texto es pasar del cálculo y el álgebra lineal al análisis no lineal: de la aproximación lineal local mediante derivadas y espacios tangentes, a la formulación de problemas débiles y variacionales en espacios de dimensión infinita.
Estructura general
I. Variedades riemannianas
Variedades suaves, haces vectoriales, métricas riemannianas, conexiones, geodésicas, coordenadas normales y de Fermi, curvatura, integración y operadores diferenciales comunes.
II. Análisis no lineal en espacios euclidianos
Derivadas débiles, espacios de Sobolev, encajes, Rellich–Kondrashov, distribuciones, espacios LF, clase de Schwarz, transformada de Fourier, espacios fraccionarios, Besov, Triebel–Lizorkin, traza e interpolación.
III. Análisis no lineal en variedades riemannianas
Espacios de Sobolev en variedades, desigualdad de Kato, encajes, compacidad, operadores sobre haces vectoriales, adjuntos formales, Sobolev en haces vectoriales, distribuciones, núcleo del calor y geometría acotada.
IV. Teoría del índice
Operadores pseudodiferenciales, operadores elípticos, teoría de Fredholm, K-teoría topológica y teorema del índice de Atiyah–Singer.
V. Aplicaciones
Ecuaciones diferenciales parciales en variedades riemannianas, flujo de Ricci, espacios de Sobolev y aplicaciones al análisis geométrico.
VI. Análisis en dimensión infinita
Cálculo en espacios de dimensión infinita y variedades de dimensión infinita.
VII. Métodos variacionales
Soluciones débiles y fuertes, diferenciabilidad de funcionales, métodos variacionales, crecimiento de no linealidades, minimización y multiplicadores de Lagrange en espacios de Banach.
Apéndices
Topología, análisis, espacios métricos, espacios normados, espacios de Hilbert, teoría de la medida, espacios \(L^p\), espacios vectoriales topológicos, topologías débiles, álgebra lineal y notación tensorial.
Vista previa del manuscrito
Notas
Notas de cálculo
Próximamente. Esta sección incluirá notas de cálculo diferencial e integral, cálculo multivariable, optimización y aspectos geométricos del cálculo.
Notas de análisis global
El manuscrito anterior es el proyecto principal en análisis global. Más adelante podrán agregarse notas breves complementarias.